Должна ли оплата больничных прописываться в трудовом договоре?

Нет. Не должна. Это априори , само собой , неотъемлемая часть трудовых отношений.

Наниматель обязан уплачивать фсзн, от этого идёт стаж и пенсия, и выплачиваются больничные.

Нет. Это по умолчанию, если наниматель за вас платит фсзн