Вы нотариусу заплатите больше за заверение переписки, там постранично оплачивается. Плюс судебные издержки (которые потом, конечно, можно возложить на ответчика, но сначала вы их заплатите).
Я думала она вам вообще ничего не отдала. То есть она вам 600 фото все-таки отдала? В обработке?!

Услуга называется - заверение переписки. Эксперт или нотариус забирают на время ваш телефон, делают выгрузку переписки (архив) (потом в отчёте это в виде текста фигурирует, протоколирование), а также делают скриншоты. Каждый скриншот оплачивается отдельно.

А сколько фото вы в итоге получили и если не секрет какая оплата была?

Так как в телеге есть возможность в одностороннем порядке удалить сообщения, то скрины надо заверять у нотариуса, и лучше до того, как отправите досудебную, а то вдруг она все удалит(в вотсапе или просто смс можно было бы заверить позже, если бы уж реально до суда дошло).
А потом можно претензию в вотсапе отправлять. Закон не регламентирует, как именно надо оповестить оппонента, главное оповестить. Просто через почту это более привычно, с квитанцией, опять же заверять скрины не надо, если что

И скрины, вроде как, не существенны, нужно выгрузку истории сообщений делать

Вам нужно заверить переписку у нотариуса пока их не удалили, если вы намерены идти в суд