Обязательно надо, т.к. труд инспекция может проверить его наличие при проверке. Это отпуск по беременности и родам: работодатель сейчас больничные видит в программе, а заявление вы пишете.

На больничный нет. А вот в отпуск по беременности и родам да. Потому что открытый лист нетрудоспособности не равно началу отпуска по беременности. Женщина имеет право продолжать работать

Писала с дочкой

Сначала больничный предоставляете. И уходите. Потом, где то за 2-3 недели до окончания больничного, идёте пишете заявление на предоставление отпуска по уходу за ребёнком.
У меня так было

Зависит от компании. Я писала. Оформляла сильно заранее, за месяц до выдачи больничного на основании справки, где мне гинеколог написала дату пдр (у нас просто месяц оплачиваемого отдыха давали бонусом, поэтому уходила в декрет не за 2, а за 3 мес до родов).
Этот вопрос лучше уточните в отделе кадров, они занимаются документами такими, если фирма большая

Я писала

Заявление писать нужно. Отпуск по беременности и родам предоставляется по листку нетрудоспособности (больничный) и письменное заявление.

Нет, вы же больничный лист предоставляете.