Ребёнок быстро засыпает, когда вымотан.

У нас папа стал укладывать и стал быстро засыпать

Попробуйте сместить время укладывания, может раньше нужно. Либо наоборот позже, но чаще именно раньше срабатывает. Если погуглить, то можно найти способы расчёта окна в сон. Не купать как вариант перед сном, а раньше. За час до сна приглушенный свет и спокойные игры.