Нет, можете сделать не зависимо от места прописки. Указываете фактическое место жительства, а в свою графу мать свою регистрацию и фактическое место жительства как у детей.
Установите нос услуги, создайте учетную запись и подтвердите в отделении пенсионного например.
Я все заполнила через нос услуги и пришла просто в миграционную через месяц по приглашению с фото ребёнка и забрала сразу паспорт

По месту жительства, по месту пребывания, по разному. В одном случае просто делать будут месяц, в другом четыре месяца. Доки на гос услугах посмотрите))

Можно не по месту, смотря что вы имеете ввиду , город , регион , область )
От этого зависит срок выдачи )
ОформлЯйте через гос услуги ) проще простого ) без лишних проблем )