Олимпиада или как не сломать мозг: помогите решить задачу

Давайте разберем эту необычную задачу.

Суть задачи:

Есть два правила. Одно правило вычисляет число десятков, другое — число единиц в двузначном числе.

Правила выглядят как выражения со знаками + и -, в которых используются верхняя и нижняя цифры исходного "столбика".

В правилах можно:

· складывать и вычитать цифры;

· использовать одну цифру несколько раз;

· вычитать меньшую цифру из большей.

Дано:

1. Верхняя 2, нижняя 1 \rightarrow 35

2. Верхняя 3, нижняя 1 \rightarrow 47

3. Верхняя 2, нижняя 3 \rightarrow 57

4. Верхняя 1, нижняя 2 \rightarrow 34

5. Верхняя 1, нижняя 3 \rightarrow 45

6. Верхняя 3, нижняя 2 \rightarrow ?

Анализ:

Посмотрим на известные результаты. В числе 35 (первый пример) число десятков — 3, число единиц — 5.

Попробуем найти закономерность, используя только числа 2 и 1 (из первого примера).

· Для числа десятков (3):

Как из 2 и 1 получить 3? Очень просто: 2 + 1 = 3.

Проверим на других примерах:

· Пример 2 (3 и 1): 3 + 1 = 4 (десятки в числе 47 — 4). Сходится!

· Пример 3 (2 и 3): 2 + 3 = 5 (десятки в числе 57 — 5). Сходится!

· Пример 4 (1 и 2): 1 + 2 = 3 (десятки в числе 34 — 3). Сходится!

· Пример 5 (1 и 3): 1 + 3 = 4 (десятки в числе 45 — 4). Сходится!

Вывод: Число десятков = сумма верхней и нижней цифр.

· Для числа единиц:

· Пример 1 (2 и 1): единицы равны 5. Как из 2 и 1 получить 5? Например, 2 + 1 + 1 + 1 = 5 (используем 1 несколько раз). Или 2 + 2 + 1 = 5. Или 2 \times 2 + 1 = 5. Вариантов много.

· Пример 2 (3 и 1): единицы равны 7. Как из 3 и 1 получить 7? Например, 3 + 3 + 1 = 7.

· Пример 3 (2 и 3): единицы равны 7. Как из 2 и 3 получить 7? 2 + 2 + 3 = 7.

· Пример 4 (1 и 2): единицы равны 4. Как из 1 и 2 получить 4? 2 + 1 + 1 = 4.

· Пример 5 (1 и 3): единицы равны 5. Как из 1 и 3 получить 5? 3 + 1 + 1 = 5.

Заметим закономерность в единицах:

· Пример 1: 2 + 1 + 2 = 5? Нет, это 2 \times 2 + 1.

· Пример 1: 2 + 1 + 1 + 1 = 5.

· Пример 2: 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7.

· Пример 3: 2 + 2 + 3 = 7.

· Похоже, что единицы получаются так: верхняя цифра \times 2 + нижняя цифра.

· Проверим:

· Пример 1: 2 \times 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Сходится!

· Пример 2: 3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7. Сходится!

· Пример 3: 2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7. Сходится!

· Пример 4: 1 \times 2 + 2 = 2 + 2 = 4. Сходится!

· Пример 5: 1 \times 2 + 3 = 2 + 3 = 5. Сходится!

Применяем правила к последнему примеру:

Верхняя цифра = 3, нижняя цифра = 2.

1. Число десятков = 3 + 2 = 5.

2. Число единиц = 3 \times 2 + 2 = 6 + 2 = 8.

Получаем число 58.

Проверка: В правилах сказано, что можно использовать одну цифру несколько раз, складывать и вычитать. Правило 2 \times \text{верх} + \text{низ} эквивалентно (\text{верх} + \text{верх}) + \text{низ}, что разрешено (складывать цифры, использовать несколько раз). Или можно записать как \text{верх} + \text{верх} + \text{низ} - \text{низ} + \text{низ} и т.д. Главное, что это соответствует условию.

Ответ: 58