Оплачивается ли больничный по уходу за ребенком во время отпуска?

Все верно

Если на себя откроете больничный, то оплатят и продлят

Верно. И по правилам его и открыть надо с момента завершения отпуска того, кто ухаживает. Просто об этом забывают и никто не сообщает (а так я видела пост, где удивлялись зачем врач такое спросил. Прошаренный)

На ребенка не распространяется