У ребёнка кашель и температура 39,2: что делать и почему разница?

Кто болел в нашем возрасте, 23 января начался кашель влажный, и хотела от соплей, у педиатра были , выписали ингаляцию с пульмикортом, промывать нос, отсасывать сопли , и ложкой в рот чтобы мокрота отходила, все делали как врач говорила, мокрота сначала отходила, потом стала вязкая что ли, начала ходить туда сюда и не выходит, поить пытаемся, но пьет очень плохо, только ложечкой удается влить, из бутылки вообще не пьет, кушает хорошо пюре и каши, а вот от смеси отказывается , каждые три дня ходили к педиатру она слушала говорила, в легких чисто, с каждым прием ом говорит динамика положительная , но кашель так и есть, сегодня в 3 часа ночи трогаю его , горячий, температуру померила 37,3, но когда трогаешь , как будто бы больше,сейча решила померить ректально, 39,2 показало, вот сижу жду врача. Это уже сильно страшно да? И почему такая разница в температуре в подмышке и попе на 2 градуса отличие 🤷🏼‍♀️