Ничего сложного. Оформляете перевод на мос.ру в нужный сад и ждете, когда рассмотрят.

Можно позвонить в школу узнать о наличии мест и если они есть, то побыстрее заявление провести, а если мест нет, то ждать, когда будут

Переводились в сентябре. Написала той, кто занимается распределением, узнала есть ли место в нужном саду. В нужном не оказалось, предложила альтернативу. Потом написала заявление в свой сад