Нужно ли брать больничный, если ребенок заболел в отпуске?

Сразу нет. Только если лечение затянулось и отпуск закончился, а вам нужно дальше лечиться. Вот тогда в день предполагаемого выхода из отпуска нужно отккрввать лист нетрудоспособности. Можно и сразу, но нет смысла, так как наложившиеся дни не оплачиваются и отпуска не продлевают

Детский - нет. На себя - да, тогда отпуск можно продлить.

Детский больничный не продлевает отпуск, только если на себя возьмете

Если хотите продлить отпуск, то берите больничный.