Добрый день! У нас тоже постоянная в Хабаровске, но без штампа о гражданстве ребенка даже на самолет не пустят. Замкнутый круг) только делать временную регистрацию и по ней ставить штамп в МФЦ. Иначе никак.
Арендодатель по закону обязан вам сделать временную регистрацию. Да и вы ему по человечески можете объяснить, что без этого штампа ребенок за пределы Москвы улететь никуда не может. Только если пешком пойдет.
+ временная регистрация, это не прописка. Можно ее на месяц сделать и аннулировать, если он сильно переживает.
А еще, сейчас все делается дистанционно на гос услугах и даже идти никуда не нужно)

У сына только временная регистрация. Ставила штапм, никто даже не смотрел, где прописан ребёнок.

Живите спокойно без штампа, для приема в школу и садик уже написали сто раз, что он не нужен

Ну вообще должна быть
Я вот недавно ставила сыну печать и у меня спрашивали где ребенок прописан и просили предоставить документ