Про гараж. Строить гараж можно. Но нужно соблюдать градостроительные регламенты и минимальные отступы. Изучите этот вопрос.
Если построите без соблюдения отступов, то могут в будущем возникнуть проблемы с соседями, с администрацией и с банком.

Я продавала участок со старым домом. В границах города Новосибирска. Звонила в разные банки узнать, возможно ли будет взять его в ипотеку с последующим сносом этого дома и строительством на его месте нового - в основном отвечали нет.
Но купили его у нас в итоге с ипотекой в Сбере. Снесли и построили новый. (Подрядчик был аккредитован и ипотека была сразу на строительство)

Если ваш участок позволяет строительство второго дома рядом с первым (это надо уточнить у кадастрового инженера), то теоретически можно построить дом. При регистрации права на него, сразу же зарегистрируется и обременение банка (это происходит автоматически). Сделаете оценку, страховку и подадите заявление в банк о принятии на баланс еще одного дома (в Сбере это так называется, насколько я помню. В других банках может по другому быть).
По старому дому, так как он в залоге у банка, нельзя просто так его снести. Скорее всего понадобиться экспертиза о том, что дом непригоден к проживанию. После нужно будет сообщить о планируемом сносе банку и администрации района. Снести дом. И потом кадастровый инженер подготовит акт сноса, с которым вы пойдете в Росреестр. И вот тут надо уточнить, не понадобиться ли для этого какой-то документ от банка.

В целом ваш новый дом явно будет ликвиднее для банка в качестве залога по ипотеке.

У каждого банка свои условия.
По какой еще программе брали ипотеку тоже зависит

Не знаю про вашу ситуацию, нужно в банке узнать. У нас в залоге была квартира, после постройки дома провели его оценку и перевели в залог дом, квартиру вывели из залога

Про гараж - с 1 марта постройки более 50 кв нужно ставить на учет и платить налог

Если ипотека в Сбере, то позвоните в домклик. Пару лет назад было можно

Ну думаю новый дом не дадут внести в ипотеку действующую. Гараж можете построить