Не надо менять прописку. Писала на сайте мэрии указывала, что переехали и какие сады рассматриваем. Дали сад, с предыдущего забрали документы и пошел в новый.

Прописку не надо менять, звоните заведующей, которая в том саду, в который вы хотите, если есть место то она вам все расскажет
Оформляли в декабре перевод, писала заявление в старом саду, но изначально заведующая нового сада начала помогать и оформляла заявку