Читать договор внимательно что подписываете, и все косяки сразу фоткать а то потом "у нас такого не было"

Паспорт
Оригиналы документов на право собственности на квартиру (проверить данные).
Также запросить квитанции на жкх - там тоже фио есть.

Если собственников несколько - заключить договор со всеми или получить согласие на аренду от них.

Деньги отдавать по расписке и строго собственнику (перевод тоже только на его фио).

А еще проверьте обязательно нет ли клопов. Мы так сняли это жесть была, через 2 недели ток обнаружили

Документ собственности на квартиру, если не ошибаюсь.