Правильно написали выше - понятия отработка не существует. Если больничный откроете до увольнения, то он будет полностью оплачен вне зависимости от даты увольнения (оплачен также, как если бы вы работали). Уволят вас в дату, указанную в заявлении (при соблюдении сроков его подачи или при наличии согласования даты увольнения). Также, если вы откроете больничный в течение месяца после увольнения, то можете предъявить его к оплате по последнему месту работы и он тоже будет оплачен, но там порядок расчёта будет уже другой (меньше сумму начислят).

Да, можно. Период отработки из-за этого не сдвинется

Понятия отработки не существует. Есть обязанность уведомить за 2нед. Чем вы будете заниматься в течении этих недель не важно.
Взять можно. Вас уволят с той даты, какую вы написали в заявлении

Насколько я знаю, больничный можно приносить в течение месяца после увольнения