У моей сестренки такое было на указательном пальце, ей было 3, мы пошли к хирургу и он порезал и вытащил гной, потом лечили антибиотиками и какой то мазью местно только. Сходите к хирургу
А так если гной то уже большеватый. Может хирургу покажете детскому. Такое обычно бывает если ноготь сильно коротко подстригли и под ногтём кожу порезали и инфекция зашла.