Отпуск на работе летом: получаю пособие и работаю на полставки, можно?

Не можете. Я тоже узнавала. Вы не можете быть в двух отпусках одновременно. Но пока работаете, будет копиться ежегодный обязательный отпуск.

Всё вы можете взять отпуск. Отпуск по уходу за ребёнком не прекращается. Вы же на пол ставки работаете.

Зависит от того, как вы оформлены.
В двух отпусках находиться нельзя.
Либо договариваетесь с начальством. Либо выходите из декрета, берете отпуск, после отпуска обратно в декрет.

Я работала по договору, поэтому и об отпуске просто договаривалась с начальством

Ну по идее, если вы вышли на пол ставки, то вы уже не в отпуске по уходу за ребенком, а просто продолжаете получать пособие