Нужно свидетельство о рождении ребёнка, где написано что Вы мать. Согласие от второго родителя на выезд ребенка с другим родителем не требуется, если нет запрета.
В безвизовые страны разрешение не нужно от другого родителя. Я делала для своего успокоения и возила с собой( ни разу не запросили). Но беру с собой свидетельство,как подтверждение,что я мать ребенка. По другому не доказать, так как разные паспорта. Ну и у ребенка мини «допрос» проводила таможня при мне)
В визовые страны обязательно разрешение второго родителя нужно.