Если оба родителя в одном месте то прописывать можно одному родителю с двумя паспортами там же нам печать поставили в паспорт, если в разных местах прописаны родители то нужны оба.
Мы в субботу были там прописывали дочь, я сидела в машине с детьми пока муж ходил ,но заставили прийти подписать заявление.

Вообще не обязательно. Я взяла паспорт мужа и свидетельства детей, штампы поставили.

Я отдавала свой паспорт мужу, он сам ходил делать и прописку, и записи в паспортах.

Не обязательно