У меня надо была самой записаться после того, как анкету заполнила. Носпошлину в промежутке заплатить. Паспорт был готов через 2 недели

Вы зайдите перед! заполнением заявления в записи на прием в МВД. Посмотрите окна в удобных вам отделениях. Они могут быть где-то уже на эту неделю, а где-то через месяц только. И уже от этой информации отталкивайтесь, когда будет на последнем этапе заполнения заявления отделение выбирать.
А то мне пришлось 2 раза переписывать мужу заявление с его кучей мест работы только потому, что выбрала отделение, где ближайшая запись была только на 19 июля. А в итоге еще даже близко не 19, а паспорт уже получен :)

Через 3 дня ребенка пригласили)

Все зависит от отделения. Мужу сделали на 10 лет за 11 дней. Пошлину можно и на месте оплатить, от нее приглашение не зависит.