Как купить машину у частника?

Пишете договор. Передаёте деньги/машину.

Новый владелец с договором, страховкой на себя едет один в ГАИ и оформляет.

Техосмотр ещё нужен

Составили договор купли продажи, далее покупатель с ним едет в ГАИ, со страховкой и тех осмотром. Деньги лучше на карту переводом, мы для подстраховки зашли в сбер и через банкомат положили их на карту, чтоб сразу проверить на подлинность.

в гаи запись через гос услуги, если я не ошибаюсь

А ещё лучше у покупаемой машины сразу проверить номер двигателя, а то у нас в городе ой как частенько бывает такое, что номер подвергся коррозии и отправляют на экспертизу

Составляете договор купли - продажи в трех экземплярах. Перед этим сверяете VIN номер на кузове и в документах, ПТС и СТС. Если продаете, подпись в ПТС ставите вы. Если покупаете, то продавец. Передаете/принимаете деньги. Делаете страховку ОСАГО. Далее через госуслуги записываетесь в гаи, регистрация нового ТС. Там оплачиваете пошлину за новые номера, постановку на учет, запись или новый ПТС. Едете в день записи в гаи с ДКП, там машину осмотрят, все проверят, дадут номера, СТС, запись в ПТС сделают.