Раз тоже самое с насморком, скорее по щаднеце стенке стекают и образуется кашель.
Найти грамотного ЛОРа, который сделает тест на дыхательную систему, назначит местные глюкокортикоиды (назонекс или подробное).
А ещё в школе стоматолога Константина Крылова (babydantist) про прикус, была лекция. Суть заключается в том, что пока ты лечишь аденоиды важно убрать молочку, сахар, бананы, макароны , сладости, всё мучное. Данные продукты тоже влияют на это

Если кашель больше месяца, то к пульмонологу лучше обратится хорошему, что требует аускультации