Кто может претендовать на квартиру после смерти дедушки?

Девочки кто разбирается,подскажите пожалуйста.

Дано: 3 комнатная квартира,квартира оформлена на моего двоюродного дедушку. В этой квартире прописаны:дедушка,я и двое моих маленьких детей. Дед написал на меня завещание на эту квартиру,т.к он ее только оформил в собственность,она была не приватизирована. Дарственную не стали делать,налог большой и договор купли продажи тоже пока не стали делать,потому что в собственности нет еще 3 лет. Если не дай бог с ним что-нибудь случится может ли на квартиру кто-то претендовать? Его жена и дочь давно умерли,осталась я и его двое племянников( мой отец и его брат отцы),со стороны покойной жены теща и еще кто-то. Повторюсь завещание сделано на меня. Могут ли они отсудить квартиру?(все думают,что сделана дарственная,но по факту завещание). И когда человек умирает как вобще происходит вступление в наследство?должны они будут отказаться от наследства или нет?уведомляет ли нотариус как то,что человек умер или нет?

Просто вложили кучу денег в ремонт с 0 просто,а я нервничаю,а вдруг что.