Мы подавали через госуслуги, паспорт старого образца, делали месяц

Быстрее всего паспорт сделать за деньги, т.е. платно. А если выбирать из двух ведомств, что Вы написали - однозначно госуслуги. Надеюсь, что Вы не к Железнодорожному району относитесь, там электронная система полетела. Хотя, может быть, сейчас и наладили все.
В мфц однозначно будет дольше.

В МФЦ всегда дольше, потому что они отвозят документы раз в неделю в ведомства. Например, отвозят во вторник, а вы подали в среду - ждать неделю только отправки