Чтобы получить коробку/компенсацию не имея московской прописки, но родив в московском роддоме, нужно сделать свидетельство о рождении в роддоме. Посмотрите сайт Роды в Москве, там точно есть статьи по получению свидетельства и компенсации.
Коробку получают те кто рожает в Москве без разницы где вы прописаны. Моя подруга была просана я ярославской области спокойно получила по заявлению в роддоме как родила коробку но и там же она написала заявление что не хочет коробку а взамен 20000 дадут бумагу эту бумагу относите в соцзащиту и выплачивают на карту мир вам