Возможно с мат капитала оплачивать частный сад ?

Вообще да, но надо у садика узнать если у них такая функция.

Не все принимают оплату мат.капиталом

Можно, но с 3х лет ребенка, как я поняла. До 3х лет он идёт только на что-то связано с ипотекой

Необходимо заключить отдельный договор

Да возможно, но у детского сада должна быть лицензия, не у всех есть частных, вы заключаете договор и ПФР переводит деньги, по месяцам либо за конкретный период