Может ли пациент попросить чтобы не сообщали о том что он в больнице, при звонках в больницу

Конечно может. Есть врачебная тайна

Да, имеет!

Да, но в случае ухудшения состояния, должен быть прописан родственик или довереное лицо с кем, связываться.

Могут не сообщать диагноз и состояние. Но о самом факте госпитализации справочная сообщит.