В начале надо выяснить причину кашля, а потом уже его лечить.
Сопли есть? Кашель могут и сопли провоцировать и тогда вам надо будет лечить именно их, чтобы прошел кашель .
А зачем сразу антибиотик давать? Если просто вирусная инфекция, его антибиотиком не лечат, всю имунку посадите, да и не помогают они при вирусе