Договор, еще брала выписку из лицевого счета в расчетно-справочном центре, чтобы с коммуналкой не было проблем. Ну и можете как приложение к договору составить опись имущества с его состоянием.

Счетчики смотрите, краны, чтоб работали, выключатели, свет горел. Ну и в целом.

Про то, если кто-то прописан, да, меняет. Коммунальные меньше. Так как если в квартире вообще никто не прописан, то за свет, воду и т. д. будете платить по высоким тарифам.
Когда будете звонить, уточняйте по договору сдают или нет, прописан кто в квартире или нет. Кому-то договор не принципиально, но лучше с ним. У вас хоть будет заверенный документ, а не на словах

Лучше конечно с договором,потому что там хотя бы гарантия есть что Вас завтра не выселят на улицу.Обязательно смотрите,чтобы вся коммнулка была погашена по нулям,а то бывает и такое,что заезжают квартиранты,а там воды и света на приличную сумму надо оплатить.
Расположение выбирайте удобное для Вас.
Ну а дальше уже Ваши хотелки(ремонт, мебель и т.д.)

Смотрите чтоб близко было к нужным вам местам, внешний вид, ремонт, договор оформляете съёма, это хотя бы гарантия что вас не попрут на следующий день