Договор, еще брала выписку из лицевого счета в расчетно-справочном центре, чтобы с коммуналкой не было проблем. Ну и можете как приложение к договору составить опись имущества с его состоянием.

Счетчики смотрите, краны, чтоб работали, выключатели, свет горел. Ну и в целом.

Про то, если кто-то прописан, да, меняет. Коммунальные меньше. Так как если в квартире вообще никто не прописан, то за свет, воду и т. д. будете платить по высоким тарифам.
Когда будете звонить, уточняйте по договору сдают или нет, прописан кто в квартире или нет. Кому-то договор не принципиально, но лучше с ним. У вас хоть будет заверенный документ, а не на словах

Смотрите чтоб близко было к нужным вам местам, внешний вид, ремонт, договор оформляете съёма, это хотя бы гарантия что вас не попрут на следующий день