Я бы побоялась отхаркивающие давать! У нас мелкий в 5 мес тоже кашлял и один раз аж захлебываться начал и задыхаться....пока не вырвал мокроту😔очень страшно(( лечились хлорфилипт на соску, ингаляциями и в первую очередь нос частые промывания....увлажнитель включаю с маслами в комнате....проветриваю постоянно.

Нам в 3 месяца сироп геделикс от кашля назначали, промывать нос физраствором, сопли отсасывать. Больше поить. Мы были на гв. Прикладывала каждый час и каждые минут 15 давала с чайной ложки воду. Проветривать часто комнату и увлажнять. Ставила везде воду в пиалках

Мукалтин и другие отхаркивающие до года-двух детям нельзя, они откашливаться ещё не умеют.
Лечат при влажном кашле насморк. Капают аквалор/аквамарис или физраствор (удобно его в пластиковых ампулах и прям с них капать), по необходимости отсасывать сопли. Таким промыванием не увлекаться, дабы отит не заработать.
Вместо жира вполне можно соляную грелку (не сразу к коже, а через плотную пелёнку, чтобы не обжечь) на грудь и спину. Или грелку из вишневых косточек.

Чтобы не было сухого кашля - повысьте влажность в комнате

Толзингон хорошие капли, но они для горла ,а не от кашля на сколько я знаю.