Я бы посоветовала взять билет на автобусную экскурсию. Посетите самые популярные места, гид расскажет детали. Самим можно не везде успеть, а там отработанно все)

На Красной площади точно делать нечего ребенку, лучше в океанариум или в остров мечты если финансы позволяют

Квартиру на юго западе дорого снимать, рассмотрите вариант хостелов или маленьких гостиниц, типа черемушки (Вавилова), от неё например добираться 10 мин до университета и там 1 станция метро, либо до университета и потом 28 троллейбус. Ещё на ю-западной есть бывш домтуриста, но добираться менее комфортно до спортивной и ценынаверняка выше так как вышекласс

Можно покататься на канатной дороге) или доехать до Ходынского парка, там есть крутая детская площадка) и рядом авиапарк, там тоже много развлечений для детей
Или доехать до вднх, посетить Москвариум, ещё можно посетить Аптекарский огород)

А я прям рекомендую знакомство с Москвой начать с красной площади. Там великолепные музеи ( если любите): алмазный фонд, оружейная палата. Есть экскурсии и на территорию Кремля ( царь пушка, царь колокол, палаты и храмы). Но надо заранее бронировать. Деткам это интересно. Потом пройтись до храма Василия Блаженного. Рассмотреть Часы на спасской башне, рубиновые звезды. А на последок зайти в ГУМ и съесть их знаменитое мороженное. А вот в мавзолей идти, наверное, нет смысла. Через дорогу большой театр. Или дойти до храма Христа спасителя ( там тоже есть музей).
Можно покататься на речном трамвайчике ( а можно и на кораблике с обедом) по самому сердцу Москвы. Можно поехать на Воробьёвы горы и там покататься на фуникулере. Сходить в цирк (есть на цветном бульваре, а есть рядом с вами, на университете). Океанариум уже советовали. А вот парки (вднх, парк культуры и тд) , наверное, лучше оставить на лето. Они классные, но Москву вы не прочувствуете.
Из развлечений - кидзания, остров мечты, музей иллюзий.
До/ из любого аэропорта удобно ходят экспрессы ( поезда) до метро.
Квартиры можно посмотреть на букинге или airbnb

Удостоверение многодетных обязательно берите, мне кажется оно во всех музеях/детских игровых скидку даёт.

Я бы посоветовала взять билет на автобусную экскурсию. Посетите самые популярные места, гид расскажет детали. Самим можно не везде успеть, а там отработанно все)

я веду блог с обзорами детских локаций москвы) зайдите в инстаграме yarkie_budni ) подберете досуг на свой вкус 👌🏻

Остров мечты м. Технопарк находится. Туда и на Вднх. Не надо на кр площадь и в центр )

На ВДНХ москвариум есть и павильон новый Космос-сразу 2 крутых места посетите

Съездите на вднх-большой красивый интересный парк, там же сходите в Москвариум. Можете прокатиться до туда на монорельсе от метро тимирязевская., очень удобно по прямой и необычно будет вам.
Если касаемо ещё центра, то погуляйте на Пушкинской площади, Тверской бульвар там же, дойдите до патриарших прудов, Маяковская.. там качели большие., можно на чистые пруды погулять съездить.
До аэропорта удобнее всего добираться на аэроэкспрессе: если Шереметьево, то с белорусского вокзала (но сейчас сделали посадку и на др станциях), если Домодедово то от Павелецкого вокзала, если Внуково то с Киевского вокзала., удобно что аэроэкспресс идёт без пробок от получала до 50 минут где то., и пребывает сразу в аэропорт.
Подробнее уже об этих местах можете найти в Яндексе и на карте метро.

На Красной площади точно делать нечего ребенку, лучше в океанариум или в остров мечты если финансы позволяют

Скидка многодетным в зоопарке вроде есть (на Барикадной), планетарий можно посетить (там тоже скидка наверное есть)

В какой аэропорт?