Это называется согласие,оформляется у нотариуса,я такое давала своей невестке на прописку в другом городе,без моего присутствия.

За один день в МФЦ. Собственник обязательно чтобы присутствовал.

Выписываться не нужно
По доверенности нельзя

Выписываться не нужно. Но запрос из мск может и год идти. После того как получите прописку лучше эти данные отнести в паспортный стол где ранее были прописаны. Чтобы не было путаницы в налоговой и т.д. в мск можете оформить путинское пособие на ребёнка и пособие как малоимущие ( если пройдете по доходам, там требования по уровеню доходов выше чем в тлт).

Мы с мужем собственники. Как сын родился, прописывали его и меня в мфц. Нам нужно было разрешение мужа. Даже мне, хоть я тоже правообладатель. Доверенность, мне кажется, пойдет, если она правильно оформлена.

Насчёт доверенности не уверена, но когда у мужа прописывали племянника с сестрой мы у нотариуса брали разрешение что он не против, т.к. он один из собственников

Я в Казани прописывала, на думаю правила везде одинаковые. Делала через МФЦ. Выписываться не нужно. Можно по доверенности, нужны документы на квартиру о том кому принадлежит, выписка егрн. Если в МФЦ то забирали паспорт,потом ездила забирала. Я звонила в МФЦ, спрашивала конкретно какие документы нужны

Выписываться не надо, по доверенности нельзя.

Выписываться заранее не нужно. Когда подаете документы на прописку там указываете старый адрес и новый. Вам ставят новую прописку. А потом они отправляют по старому адресу запрос вас выписывают, там быстро.

В мфц нужен собственник с документами собственности на жилье и Вы, ребёнка с собой можно не Брать. Первый раз Вы идёте вместе, подаёте доки, потом Вы одна, чтоб забрать свой паспорт с печатью и справку на ребёнка.
Где выписываетесь ничего не нужно, сами выпишут и штамп о выбытии поставят Вам в паспорт тут, в Мск.