После прививки у ребёнка холодные и синеватые ручки и ножки — это норма?

Думаю, ничего страшного. Позвоните в скорую, там можно проконсультироваться с педиатром, если будет нужно-направят врачей

Может просто замерз?

А что вы в скорой скажете? У моего ребёнка холодные руки и ноги?

Температура ?

Измеряйте температуру . Либо спазм от температуры, либо замёрз малыш и нужно согреть, быстрее всего кожа к коже и одеялко.