Я бы не стала, только подмываю, если кашель только был бы небольшой то ладно)

Можно

С кашлем и соплями всегда первым делом купаю

Я бы помыла

Очень грязная ? Подмойте и все . С кашлем лучше повременить. Не шахтёр же