Врача ему только можно. Ребенку месяц и он может кашлять как от физиологического наморка ( стекают сопельки) так и от реального воспалительного процесса в бронхах. Без осмотра никто вам не имеет права советовать

Тем более смотря какой кашель. Послушать надо

Блин.в этом возрасте только через врача