нам как раз на старшую давали в дет поликл больничный,когда я на сохранении была.

В больнице вроде как дают справку, что мама в больнице, эту справку надо будет папе на работу отнести. Как-то так делается, но сама не пользовалась, может быть у врача уточнить или в отделе кадров?

Не положен. Договоритесь с педиатром, пусть больничный напишет. Потом поблагодарите ее

Не положен, вы же со старшим сидите в отпуске по уходу за ребенком, а не на больничном

Не положен, если трехлетка не болеет. Единственный вариант - мама выходит из декрета, берет больничный с младшим и лежит с ним в больнице, папа уходит в декрет и сидит со старшей, потом обратно мегяются.
Но это жуткий головняк, так что лучше как-то папе договориться на работе, или с педиатром договориться.
У нас такая же ситуация была

Насколько я знаю, может.