У нас в поликлинике пишешь заявление на главврача и просишь в нем выдать карту на руки и на какой срок. Через три дня дают

Нет, не имеют права. Могут отказать о выдачи ее на руки. И обязаны дать копию!

Нет, но чтоб карту на руки получить придётся оч сильно постараться