Можно проверить аденоиды, так как если есть восполнив, то может стекать слизь по задней стенке и кашлять от этого.

Когда-то, лет в 6, у моего была пневмония, двухсторонняя. t36,8, до этого было ОРВИ, в целом неплохо себя чувствовал, но вот попрыгает или хотя бы метр пробежит и кашель, иногда аж до рвотного рефлекса. В спокойном состоянии вообще не кашлял. Врач хрипы не слышал, t36,8 вообще норм, хотя я настаивала на обратном. Выпросила сдать анализы. Когда он увидел результат ему поплохело:"быстро на флюру". Слава богу, что все хорошо закончилось.
Это я все к чему, если Вас что-то беспокоит, сходите к врачу, пусть послушает, сдайте кровь, может ничего страшного, просто по носоглотке стекает, зато Вам спокойно будет и ребенок здоров.

Может быть воздух слишком сухой в квартире, попробуйте увлажнить и проветривать чаще. Или может из-за зубов, если ещё не все вылезли) повышенное слюноотделение.