Я с детьми прописана была в одной квартире. Потом в другую прописывалась. Выписываться никуда идти не надо это всё сращу. Можете через госуслуги но это дольше будет немного и велика вероятность что вернут из-за ошибок. Или в паспортный сращу по месту нового жительства со всеми собственниками
Лучше дома пишите заявление, но вам бы человека, который вам правильно поможет оформить заявление. Я детям неправильный вариант выбрала, из-за этого два раза приходилось ездить. Сначала себя, потом детей прописывать. Зато печать сразу ставят