Только если вас в больницу положат и старший заболеет

Если вы уже на больничном по БиР, то не дадут. Только если педиатр не знает, что вы в положении или вашего срока не знает, а ранее вы работали и уже справку приносили в поликлинику (во всяком случае у нас просили принести о том, что я работаю на полном рабочем дне). Тогда вызвать врача можно и ваш папа просто будет с ребёнком.
Но если педиатр узнает, то больничный аннулируют.

Если старший ребёнок, то нет

Вроде нет , вы же дома сидите

Да, должны. Я когда сама болела, на мужа оформляла больничный. Там пишут: по уходу за ребёнком.