Может ли кашель у ребенка быть связан с аллергией на кошку?

Всем привет! Ситуация следующая: моему сыночку 4,5 года, 2 года назад переболели ларинготрахеитом с темперой 40, и лающим кашлем (не знаю имеет ли это значение, но почему то все началось именно после этого). Потом мы пошли в садик, соответсвенно часто болели. Лающий кашель снимали только пульмикортом, причём в последующие болезни тоже был такой кашель и помогал только этот препарат. Прошлой осенью нам ставили гайморит, лечили антибиотиками, в декабре опять якобы ларинготрахетит, и опять же пульмикорт где помог, все протекало это без темпера. Так вот, после перенесённого в декабре ларинготрахеита остался кашель, который редкий в течении дня, утром и когда ложится спать, как уснёт то все прекращается, т.е. Кашляет уже месяц. На все убеждения уч. Педиатра, что кашель со временем пройдёт я решила пойти к аллергологу-иммунологу и в итоге она нам ставит диагноз предастма и отправляет на прик-тесты и другие аналищы( пц, пцр) и прописывает пульмикорт, Ксизал и дезринит. Мы делаем Прик-тесты и получает что у сына аллергия на кошку, полынь и травы. Далее я решила пойти к пульмонологу и она тоже ставит нам легкую степень тяжести астмы( начало) и садит нас на 3-х месячный курс пульмикорта, говоря о том сто нельзя этот препарат применять менее 10-15 дней, а мне всегда назначали его дней 5 ( кроме первого случая). У меня вопрос у кого было подобное? И может ли быть наш кашель и заложенный нос быть реально на кошку ( дома она есть) и если я убиру ее то у ребёнка все нормализуется? Кто еще применял такой препарат так длительно? И возможно ли вернуться к прежнему состоянию и не стать ребёнку астматиком? И обязательно ли убирать животное ( просто он уже с нами 12 лет), родные против?