Где оформить документы на новорожденного кроме своего МВД и МФЦ

Можете.

Муж оформлял все доки в ближайшее МФЦ, при этом не относящемся к нашему району, про печать тогда то ли забыли то ли не надо было, вот 2 недели назад ездила в другое МФЦ, что бы печать гражданства поставить, тоже к району не относящемуся- поставили без проблем.

Да, в любом МФЦ

Да конечно, вы в праве обратиться в любой. Муж все документы делал в МФЦ рядом с работой, а не там где прописаны - без проблем