Я просто даю много воды, морсов теплых и ренгалин . В принципе за пару дней обычно проходит

сиропы почему не хотите давать? Мы стодаль пьем при кашле, нам очень помогает, но лучше для начала обратиться к врачу, как возможность будет

Общий анализ крови, igE, экб сдать.
Возможно, аллергия

У вас скорее всего ларингит, если не лечить, мокрота будет спускаться всё ниже: трахеит-бронхит-пневмония

У нас так было. Кашель был сухой, не частый, без соплей. Предполагал педиатр, что на сухой воздух (отопление). Так длилось долго - месяца два. Потом поднялась температура под 40. Сбивала, опять поднималась. Первая скорая сделала укол Дексаметазон. Вызвали педиатра, та прописала Антибиотики и ингаляции. В ночь опять температура. Вызвали вторую скорую. Повезли в инфекционку, сделали рентген - пневмония. Пролечились. Сейчас изредка кашляет, я переживаю, что не долечили.