Либо идет в детскую и говорит про ребенка, что температура была, вот сбили и пришли.
Либо во взрослую - и там что-то аналогичное но про себя , температура, или давление 160/100 или понос.
Никто правды не узнает

Больничный на ребенка откройте в поликлинике. То что вы болеете не влияет никак, тем более у нас в стране после 3х лет всем уже все равно с кем ребенок

Только если вы знаете педиатра и попросите открыть больничный, по другому никак.

Сходить к дежурному, сказать ребенок ночью был с температурой, покашливает, дадут без проблем)

Думаю что нет, ведь больничный выдается по уходу за больным членом семьи. Если Ваш ребенок не болеет, на каком основании давать больничный