Мои родители регулярно катаются с котом и собакой из РФ в Беларусь и обратно на машине. Вет. паспорт не смотрели ни разу, дополнительные бумаги не нужны.
Но это не отменяет ежегодную вакцинацию и своевременные обработки против экто- и эндо-паразитов.

По поводу вакцин позвоните в клиники - Добрый хвост, Пара капибар. Когда я там работала, ещё был запас импортных вакцин.

Если будете ехать на поезде или полетите самолётом - вет паспорт смотрят, также необходимо предоставить справку из сббж (государственная вет лечебница). И тогда уже вакцина нужна точно импортная, а не рф.

По вакцине не знаю, но мы какую-то справку для выезда в гос ветеринарке делали, погуглите