Когда подавать заявление в школу во второй класс по прописке? Подскажите!

Сходите в нужную школу на прием к директору, договоритесь о согласовании места и потом подавайте заявление. Точно будет известно о количестве вакантных мест ближе к маю.
Я в свое время делала так.

В любое время, как захотите

Только первоклассники. Если вы переводитесь из школы в школу - к завучу или директору узнавать о наличии мест.