Стало даже интересно зачем так срочно

Возьмите на работе справку, что едете в командировку в горячую точку на один или два месяца, благодаря этому распишут быстро, но могут упереться и отказать в торжественной регистрации, т.е. придете в кабинете быстро распишитесь и получите свидетельство о браке. И да, если в загсе нет окошек свободных могут отказать, тогда ищите любой другой загс.

Позвонить в ЗАГС и узнать, если нужна не торжественная роспись, то может и могут быстрее 🤷🏼‍♀️

Никак. Сейчас даже со справкой по беременности завтра вас не распишут. Тоже очередь.