Ребенок кашляет 3 недели: антибиотик или искать другого врача?

Ребенок кашляет с 11 января. Сначала один день температуры 37.4 и начался насморк, думала, что кашляет от соплей (насморк был чуть больше двух недель и прям полный нос соплей, без постепенного уменьшения количества и прошел резко). Насморк прошел, а кашель так и остался, сильно закашливается именно ночью, днем почти не кашляет. Анализы сдавали, незначительно повышены эозинофилы и базофилы. Были у четырех разных врачей (двое платных), все слушали легкие, говорят, хрипов нет. На рентген не отправляют. В четверг крайний раз были у врача, выписывает антибиотик (говорит, что есть какая-то там …плазма, которую не видно в крови, но антибиотик может быть нужен) и тут же спрашивает, дышали ли мы длительно пульмикортом и пили ли от аллергии. Длительно не дышали и не пили, потому что до этого врач выписал их на три дня! Изменений не было. Вот разве с такими анализами все-таки нужно пить антибиотик ? Аллергикам выписывают пульмикорт? Я уже даже не знаю, куда бежать, три недели ребенок кашляет. какому врачу еще нужно попробовать показаться ?