Можно, но больничный не оплатят в эти дни. Только зарплату. Бывает, что больничный открыли, но при этом работали, тогда пишется заявление, и вам отработанные дни оплатят, а больничный нет. Если вы хотите получить выплаты по больничному и зарплату, так не получится.
Официально нет, только если работодатель заплатит наличкой например