Сдать мазки из носа и горла, возможно стафилококк, доктор назначит какой нибудь бактериофаг (который подходит по анализу) ну если конечно высеется! У меня такой случай был похожий!

увлажнитель, свежий воздух, больше воды пить давать
пить ничего не надо давать, таким деткам нельзя сиропы от кашля